Cours de métrologie

La métrologie est la science de la mesure. Elle s'intéresse aux grandeurs physiques, chimique ou biologiques, à leurs unités et aux incertitudes de mesure. Ces domaines d’application concernent la recherche et le développement, le contrôle de la qualité et l’assurance qualité dans les industries, la certification des entreprises qui réalisent des prestations de contrôle, la vérification de la conformité aux règles légales, la vérification de l’utilisation d’une méthode agréée, l’étalonnage des étalons et de l’appareillage et la vérification des appareils de mesure.

Les grandeurs

Définitions

Dimension d'une grandeur

Dans le système international des grandeurs (International System of Quantities ISQ)

Dans le système de grandeurs ISQ, la dimension d'une grandeur Q s'écrit :

\mathrm{dim} \,Q =\mathrm{L}^\alpha \mathrm{M}^\beta \mathrm{T}^\gamma \mathrm{I}^\delta \mathrm{\Theta}^\epsilon \mathrm{N}^\zeta \mathrm{J}^\eta 

\alpha, \beta, \gamma,\delta,\epsilon,\zeta,\eta sont les exposants dimensionnels qui sont entiers, rationnels ou nuls.

Si tous les exposants dimensionnels sont nuls, la grandeur est de dimension 1. Dans le langage courant, on parle de grandeurs sans dimension. L'angle plan, l'angle solide, l'indice de réfraction, la perméabilité relative, la fraction massique, le facteur de frottement, le nombre de Mach sont des grandeurs de dimension 1 de même que le nombre d'entités comme le nombre de tours dans une bobine, le nombre de molécules dans un spécimen donné, la dégénérescence des niveaux d'énergie d'un système quantique.

Unités de mesure

Définitions

Le système international d'unités

Les noms et les symboles des sept unités de base sont donnés dans le tableau suivant.

Les définitions des unités de base su Système International SI ont été révisées la CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures) en novembre 2018 et les nouvelles définitions ont pris effet le 20 mai 2019,sont basés sur 7 constantes fondamentales de la nature :

• la fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental de l’atome de césium 133 non perturbé, $\Delta \nu_{Cs}$, est égale à 9 192 631 770 Hz,
• la vitesse de la lumière dans le vide, c, est égale à 299 792 458 m/s,
• la constante de Planck, $h$, est égale à 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J s,
• la charge élémentaire, $e$, est égale à 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ C,
• la constante de Boltzmann, $k$, est égale à 1,380 649 × 10⁻²³ J/K,
• la constante d’Avogadro, $N_A$, est égale à 6,022 140 76 × 10²³ mol⁻¹,
• l’efficacité lumineuse d’un rayonnement monochromatique de fréquence 540 $\times$ 10¹² Hz, $K_{cd}$, est égale à 683 lm/W.

On retrouvera les définitions des 7 unités de base sur la brochure du SI éditée par le Bureau International des Poids et Mesures où elle est disponible en ligne.

Unités dérivées

Les unités dérivées sont définies comme des produits de puissances des unités de base. Lorsque le facteur numérique de ce produit est un, les unités dérivées sont appelées unités dérivées cohérentes. Certaines unités dérivées cohérentes du SI ont reçu un nom spécial. Elles sont au nombre de 22 : radian, stéradian, hertz, newton, pascal, joule, watt, coulomb, volt, farad, ohm, siemens, weber, tesla, henry, degré Celsius, lumen, lux, becquerel, gray, sievert et katal. Les sept unités de base et les unités dérivées cohérentes constituent la partie centrale de l’ensemble des unités du SI : toutes les autres unités du SI sont des combinaisons de certaines de ces 29 unités.

On trouvera dans la brochure Le Système international d'unités édité par le BIPM la définition de l'ensemble de ces unités dérivées.

Exemples :

• vitesse : $v =$3,6 m s^-1,
• concentration de quantité de matière : $c$ = 1,22 mol m^-3,
• Camp magnétique : $H$ = 4,2 A m^-1,
• Induction magnétique : $B$ = 0,2 T,
• conductivité thermique : $\lambda$ = 0,056 W m^-1 K^-1,
• permittivité : $\epsilon_0$ =8,854 187 82 $\times$ 10⁻¹²  F m⁻¹

Écriture des unités

Les préfixes SI qui représentent strictement des puissances de 10 pour les multiples et sous- multiples des unités sont donnés dans le tableau ci-dessous :

On ne doit pas utiliser les préfixes SI pour des puissances de 2. Par exemple, il convient de ne pas utiliser 1 kilobit pour représenter 1 024 bits (210 bits), qui est 1 kibibit. De même la capacité d'un disque dur de 2 To doit être nommée 2 Tio (2 tébioctets).

Les règles classiques de multiplication ou de division algébriques s’appliquent pour former les produits et quotients de symboles d’unités. La multiplication doit être indiquée par une espace ou un point à mi-hauteur centré ($\cdot$) pour éviter que certains préfixes soient interprétés à tort comme un symbole d’unité. La division est indiquée par une ligne horizontale, par une barre oblique (/) ou par des exposants négatifs. Lorsque l’on combine plusieurs symboles d’unités, il faut prendre soin d’éviter toute ambiguïté en utilisant par exemple des crochets, des parenthèses ou des exposants négatifs. Il ne faut pas utiliser plus d’une barre oblique dans une expression donnée s’il n’y a pas de parenthèses pour lever toute ambiguïté.

Il y a toujours un espace entre le nombre et l'unité sauf pour le degré de l'angle plan. Les nombres comportant un grand nombre de chiffres peuvent être partagés en tranches de trois chiffres, séparées par une espace, afin de faciliter la lecture. Ces tranches ne sont jamais séparées par des points, ni par des virgules. Pour les nombres entre +1 et -1, le séparateur décimal est précédé d'un zéro.

Exemples :

• longueur : $\ell$ = 1,54 cm = 154 cm , $x = -0,678\,943\,2\;\mathrm{m}$
• masse : $m$ = 1,54 g = 1,54$\times 10^{-3}$ kg , on ne doit pas employer $m$ = 1,54 mkg (2 préfixes),
• impédance complexe : $\underline Z = (5+3\mathrm{j}) \;\Omega$,
• indice de réfraction : $n$=1,32
• angle : $\alpha = 12,3^\circ$ (pas d'espace entre le nombre et l'unité)
• température : $T$ = -15 °C (un espace entre la valeur et le symbole °C),
• molalité d'un ion dans un spécimen donné d'eau : $c$ = 1,76 μmol/kg,
• composante d'une force : $(F_x;F_y;F_z) = (12,2; 56,7;31,4) \;\mathrm{N}$,
• énergie : $W$ = 43 279,168 29(54) J. Le nombre entre parenthèse indique la valeur numérique de l'incertitude-type sur les deux derniers chiffres de la valeur estimée.

Unités en dehors du SI dont l’usage est accepté avec le SI

Certaines unités en dehors du SI sont très utilisées et continueront selon toute vraisemblance à l’être pendant de nombreuses années. C’est la raison pour laquelle le CIPM a accepté que certaines unités en dehors du SI soient utilisées avec le SI. Elles figurent dans le tableau ci-dessous :

Le décret n° 2020-709 du 11 juin 2020 fixe les unités de mesure légales en France. En plus des unités précitées, sont autorisées pour l'énergie le wattheure : 1Wh = 3600 J, pour la puissance apparente le voltampère (VA) et le var (var) pour la puissance électrique réactive en courant alternatif conformément aux normes internationales IEC (International Electrotechnical Commission).

Les incertitudes de mesure

Mesurage

Erreur de mesure

L'erreur aléatoire provient probablement de variations temporelles et spatiales non prévisibles ou stochastiques de grandeurs d'influence. Les effets de telles variations, appelés ci-après effets aléatoires, entraînent des variations pour les observations répétées du mesurande. Bien qu'il ne soit pas possible de compenser l'erreur aléatoire d'un résultat de mesure, elle peut généralement être réduite en augmentant le nombre d'observations. Son espérance mathématique ou valeur espérée est égale à zéro.
L'erreur systématique, comme l'erreur aléatoire, ne peut pas être éliminée mais, elle aussi, peut souvent être réduite. Si une erreur systématique se produit sur un résultat de mesure à partir d'un effet reconnu d'une grandeur d'influence, effet appelé ci-après effet systématique, l'effet peut être quantifié et, s'il est significatif par rapport à l'exactitude requise du mesurage, une correction ou un facteur de correction peut être appliqué pour compenser l'effet. On suppose qu'après correction l'espérance mathématique de l'erreur qui provient d'un effet systématique est égale à zéro.

Si $\mu$ est la valeur vraie de la grandeur $X$, la valeur observée peut se modéliser par :

X_k = \mu + e_{sys} + e_k

où $e_{sys}$ désigne l'erreur systématique (de même valeur non nulle quelque soit l'observation $k$) et $e_k$, l'erreur aléatoire dont l'espérance mathématique est nulle. Le nombre d’erreurs aléatoires est fonction du nombre de sources d'incertitude.

Incertitude

Les sources d'incertitudes peuvent être :

• la définition incomplète du mesurande ;
• la réalisation imparfaite de la définition du mesurande ;
• l'échantillonnage non représentatif. L'échantillon mesuré peut ne pas représenter le mesurande défini ;
• la connaissance insuffisante des effets des conditions d'environnement sur le mesurage ou mesurage imparfait des conditions d'environnement ;
• le biais dû à l'observateur pour la lecture des instruments analogiques ;
• la résolution finie de l'instrument ou le seuil de mobilité ;
• les valeurs inexactes des étalons et matériaux de référence ;
• les valeurs inexactes des constantes et autres paramètres obtenus de sources extérieures et utilisés dans l'algorithme de traitement des données ;
• les approximations et hypothèses introduites dans la méthode et dans la procédure de mesure ;
• les variations entre les observations répétées du mesurande dans des conditions apparemment identiques.

Ces sources ne sont pas nécessairement indépendantes. Elles peuvent être résumées par un graphique appelé arbre d'Ishikawa ou diagramme des 5M :

• milieu : environnement (température, humidité, vibrations, ...) ;
• moyen : instrument de mesure, étalonnage , logiciels ;
• matière : échantillonnage, pureté ;
• main d’œuvre : observateur, lecture, manipulation ;
• méthode : mode opératoire.

Modélisation du mesurage

Dans la plupart des cas, un mesurande $Y$ n'est pas mesuré directement mais il est déterminé à partir de $N$ grandeurs d'entrée $X_1, X_2, \cdots, X_N$ par une relation fonctionnelle $f$ : $Y = f\left(X_1, X_2, \cdots, X_N\right)$. L'estimation du mesurande $y$ est obtenue à partir de la fonction $f$ en utilisant les estimations$x_1, x_2, \cdots, x_N$ (à proprement parlé l'espérance mathématique d'une série d'observations $X_{i,k}$ de la valeur observée de Dans la plupart des cas, un mesurande $Y$ n'est pas mesuré directement mais il est déterminé à partir de $N$ grandeurs d'entrée $X_1, X_2, \cdots, X_N$ par une relation fonctionnelle $f$ : $Y = f\left(X_1, X_2, \cdots, X_N\right)$. L'estimation du mesurande $y$ est obtenue à partir de la fonction $f$ en utilisant les estimations$x_1, x_2, \cdots, x_N$ (à proprement parlé l'espérance mathématique d'une série d'observations de la valeur observée de $X_{i}$ ) pour les $N$ valeurs $X_1, X_2, \cdots, X_N$ : $y = f\left(x_1,x_2, \cdots, x_N\right)$.

On préféra utiliser pour l'estimation du résultat $y$ du mesurande obtenue après $n$ observations indépendantes $Y_k$ de $Y$:

y = \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\overline{Y_k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(X_{1k},X_{2k},\cdots,X_{N,k}\right)

plutôt que de faire :

y =  f\left(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{N}\right)

car la fonction $f$ peut-être non linéaire.

Évaluation de type A de l'incertitude-type

Dans certains cas, la meilleure estimation $x$ disponible de espérance mathématique d'une grandeur d'entrée $X$ qui varie au hasard (c'est à dire d'une variable aléatoire) pour la quelle on a obtenu $n$ observations indépendantes $X_k$ est la moyenne arithmétique : $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n}X_k$.

L’écart-type expérimental de la moyenne $\overline{X}$peut être utilisé comme mesure de l'incertitude $u(x)$ :

u(x) = s(\overline{X}) =\frac{s(X_k)}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{j=1}^{n}\left(X_j-\overline{X}\right)^2}{n}}

$u(x)$ est appelé incertitude-type de Type A.

Exemple :

Vingt observations répétées de la température d'une étuve $T$ en °C ont donné les résultats suivants :

La moyenne est $\overline{T} = 36,675\;\mathrm{°C}$, l'écart-type $s(T_k) = 0,747\;\mathrm{°C}$, l'écart-type de la moyenne $s(\overline{T}) = \frac{0,747}{\sqrt{20}} =0,167 \;\mathrm{^{\circ}C} \simeq 0,17 \;\mathrm{^{\circ}C}$. On peut estimer l'incertitude-type de type A : $u(T) = 0,17\;\mathrm{^{\circ}C}$ si l'on considère que la distribution des observations obéit à une loi de probabilité normale.

Évaluation de Type B de l'incertitude-type

Pour une estimation $x_i$ d'une grandeur d'entrée $X_i$ qui n'a pas été obtenue à partir d'observations répétées, l'incertitude-type est évaluée par un jugement scientifique fondé sur toutes les informations disponibles concernant les causes de variabilité possible de $X_i$. L'ensemble des informations peut comprendre :

• des résultats de mesures antérieures ;
• l'expérience ou la connaissance du comportement et des propriétés des matériaux et instruments de mesure utilisés ;
• les spécifications du fabricant ;
• les données fournies par les certificats d'étalonnage ou d'autres certificats ;
• l'incertitude assignée à des valeurs de référence provenant d'ouvrage et manuels.

$u(x_i)$ évalué de cette façon porte le nom d'incertitude de type B.

Exemple :

Le certificat d'étalonnage d'une masse étalon de classe E1 de valeur nominale 100 g indique que la masse étalon en acier inoxydable est $m = 100,000\, 032\, 5\; \mathrm{g}$. Pour les étalons de masse de classe E1, l'erreur maximale tolérée est $\delta m =0,05\;\mathrm{mg}$. L'incertitude élargie ($k=2$) est donnée par la recommandation internationale OIML R 111-1 : $U(m) \leq 1/3\, \delta m$. On a donc $U(m) =2\times u(m) =\frac{0,05}{3} = 0,017\;\mathrm{mg}$ et $u(m) = \frac{0,017}{2} =0,0083\;\mathrm{mg}$. On écrira donc :$m = 100,000\,032\,5(83) \;\mathrm{g}$.

Demi-intervalle et incertitude-type

L’incertitude fournie pour une grandeur d'entrée $x_i$ n'est pas nécessairement une incertitude-type c'est à dire un écart-type mais peut-être un multiple de l'écart-type ou un demi-intervalle. Dans le cas où l'incertitude fournie est un intervalle correspondant à un niveau de confiance de 90, 95 ou 99%, l'incertitude-type est obtenue en divisant l'intervalle par les facteurs 1,64; 1,96 et 2,58 correspondant aux trois niveaux de confiances ci-dessus et en supposant qu'une loi normale a été utilisé pour déterminer l'intervalle au niveau de confiance donné.

Dans le cas où seules les limites inférieures et supérieures pour une grandeur $X_i$ sont connues, on peut juste conclure que la probabilité que la valeur $x_i$ de $X_i$ soient comprise entre les valeurs des limites $a_-$ et $a_+$ est égale à 1 et à 0 en dehors de l'intervalle. La valeur de l'incertitude-type $u(x_i)$ dépend alors des connaissances sur les valeurs possibles de $X_i$ à l’intérieur de l'intervalle $2a = a_+-a_-$ ($a$ est le demi-intervalle).

Connaissance	distribution	incertitude-type
aucune	rectangulaire	$\frac{a}{\sqrt{3}}$
Valeurs autour des limites moins probables	trapézoïdale de base $2a$ et de sommet $2 a\beta$ ($0\leq \beta \leq 1$)	$\frac{a\sqrt{1+\beta^2}}{\sqrt{6}}$
Valeurs autour des limites moins probables	Triangulaire de base ($2a$$\beta = 0)$	$\frac{a}{\sqrt{6}}$
Valeurs autour des limites plus probables	Arcsinus	$\frac{a}{\sqrt{2}}$

Évaluation de l'incertitude-type composée

Dans le cas où les grandeurs d'entrée sont indépendantes, l'incertitude-type de la grandeur de sortie $y$ où $y$ est l'estimation du mesurande $Y$, donc le résultat du mesurage obtenus à partir des estimations $x_1, x_2,\ldots,x_N$ des grandeurs d'entrées $X_1, X_2, \dots, X_N$ et de la fonction $f$.

u_c(y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}u\right)^2 u^2(x_i)}

Cette relation porte le nom de loi de propagation de l'incertitude. Les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ portent le nom de coefficients de sensibilité $c_i$ et les termes $\frac{\partial f}{\partial x_i}u(x_i)$ sont les composantes de l'incertitude. L'incertitude composée est donc la racine carré de la somme quadratique des composantes de l'incertitude $u_i(y) = c_iu(x_i)$.

Si $Y = c_1X_1 + c_2X_2 + \ldots c_NX_N$ alors l'incertitude combinée s'écrit simplement :

u_c(y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}c_i^2 u^2(x_i)}

Si $Y = cX_1^{p_1} + c_2X_2^{p_2} + \ldots c_NX_N^{p_N}$ alors l'incertitude combinée s'écrit simplement :

\frac{u_c(y)}{y} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}p_i^2 \left(\frac{u(x_i)}{x_i}\right)^2}

Si les grandeurs d'entrée sont corrélées, la loi de propagation de l'incertitude s’écrit en tenant compte des covariances des grandeurs d'entrée :

u_c^2(y) = \sum\limits_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}u\right)^2 u^2(x_i)+ 2 \sum\limits_{i=1}^{N-1}\sum\limits_{j=i+1}^{N}\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}u(x_i,x_j)

Incertitude élargie

Pour une meilleure compréhension de l'incertitude-type, il est parfois nécessaire de définir un intervalle à l’intérieur duquel on puisse espérer voire se situer une large fraction de la distribution des valeurs qui pourraient être attribuées au mesurande. Cet intervalle est appelé incertitude élargie $U$ et s'obtient en multipliant l'incertitude-type par un facteur d’élargissement $k$.

U = ku(y)

On exprime alors le résultat d'un mesurage sous la forme $Y=y\pm U$.

La valeur du facteur d'élargissement est fonction du niveau de confiance correspondant à la probabilité qu'une fraction élevée $p$ de la loi de distribution qui caractérise le mesurande $Y$ se trouve dans l'intervalle $Y-U$, $Y+U$. Si la loi de distribution des valeurs $y$ de la grandeur $Y$ obéit approximativement a une loi normale, le choix $k=2$ fournit un intervalle avec un niveau de confiance de 95% et e choix 3 fournit un intervalle avec un niveau de confiance de 99% environ.

Dans le cas où le nombre d'observations est faible ($N<30)$ et ne permet pas de vérifier si la distribution des valeurs suit une loi normale, il convient de choisir une loi de t (loi de Student) à $N-1$ degrés de liberté. Le coefficient d'élargissement $k$ est alors donné dans la table de Student en fonction du niveau de confiance $1-\alpha$.

Expression de l'incertitude

Le résultat d'un mesurage comporte :

1. la description complète de la manière dont le mesurande est défini, le mode opératoire permettant son estimation et la relation entre le mesurande et les grandeurs d'entrée dont il dépend. Les unités utilisées doivent être précisées.
2. la liste les composantes de l'incertitude et leur évaluation.
3. l'estimation $y$ du mesurande $Y$ et son incertitude composée $u_c(y)$. Lorsque cela est approprié, l'incertitude-type relative $\left|\frac{u_C(y)}{y}\right|$ doit être fournie.
4. l'incertitude élargie en précisant le facteur d'élargissement et le niveau de confiance.

Bibliographie